• Nếu f và g là hai hàm số, thì Laplacian của tích fg sẽ là

Δ ( f g ) = ( Δ f ) g + 2 ( ( ∇ f ) ⋅ ( ∇ g ) ) + f ( Δ g ) . {\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g).}

Trong trường hợp đặc biệt khi f là một hàm phụ thuộc vào bán kính f ( r ) {\displaystyle f(r)} và g là một hàm cầu điều hòa, Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )} . Ta thường gặp trường hợp đặc biệt này trong nhiều mô hình vật lý. Gradient của f ( r ) {\displaystyle f(r)} là một vectơ theo hướng bán kính và gradient của một hàm chỉ phụ thuộc vào góc là tiếp tuyến với véctơ bán kính, do đó

2 ( ∇ f ( r ) ) ⋅ ( ∇ Y l m ( θ , ϕ ) ) = 0. {\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0.}

Thêm nữa, hàm cầu điều hòa có tính chất đặc biệt là eigenfunction của toán tử Laplacian trong tọa độ cầu.

Δ Y ℓ m ( θ , ϕ ) = − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 Y ℓ m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}

Do đó,

Δ ( f ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) ) = ( d 2 f ( r ) d r 2 + 2 r d f ( r ) d r − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 f ( r ) ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) . {\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).}